ГоловнаМакро і МікроекономікаЗагальні питання мікроекономіки → 
« Попередня Наступна »
Бусигін, Желободько, Циплаков. Мікроекономіка - Третій рівень 2005 702 с., 2005 - перейти до змісту підручника

10.8 Екстерналії в квазилинейной економіці



У цьому параграфі будемо розглядати квазілінійного економіку з екстерналіями. У цій економіці є l + 1 звичайних благ. Переваги споживачів і технології фірм описуються функціями наступного віда13:
ui (xi, zi, ai, а_i) = vi (xi, ai, а_i) + Zi,
де Xi ^ 0, ai? Ai а обсяги споживання (l + 1)-го (квазілінійного) блага, Zi, можуть бути довільними, і
9з (Yj, rj, aj, a_j) = rj - cj (yj, aj , a_j),
де, як звичайно cj (?) - функція витрат, яка показує витрати (l + 1)-го блага на виробництво звичайних благ у кількості yj ^ 0 і екстерналій в кількості aj ? Aj.
Відомо, що Парето-оптимальні стану квазилинейной економіки характеризуються наступним завданням:
W (x, y, a) = 53 vi (xi, a) - E cj (yj, a) ^ max iei j eJ x'y'a
Е Xi = Е yj, (We)
iij J Xi ^ 0, ai? Ai, yj ^ 0, aj? Aj.
Якщо ((X, Z), (y, r), a) - Парето-оптимальний стан економіки, то (X, y, a) - рішення даної задачі. Назад, якщо (X, y, a) - рішення даної задачі, то знайдуться числа fi і fj, такі що ((X, Z), (y, r), a) - Парето-оптимум.
Функція W (X, y, a) є індикатором добробуту даної економіки. Скористаємося наведеної характеристикою Парето-оптимальних станів. Нехай ((X, Z), (y, r), a) - Парето-оптимум, такий що ai? int Ai і aaj? int Aj, а функції корисності і витрат діфференцируєми. Диференціюючи функцію Лагранжа даної задачі,
L = Е vi (x ^ a) - Е cj (yj, a) + Е Ok (Е yjk - Е xik),
iei je J keK je J iei
отримуємо такі умови першого порядку: dvi dxik ^ Ok і dvi dxik = Ok, якщо Xik> 0, "ii, k, dcj dyjk ^ Ok і dcj dyjk = Ok? якщо yjk> 0, ij, k, dvi + V
da? ^
daie s = i dvs daie = Е
j J dcj daie 'ie? Ei. sp dvi =
^ dn? = iei da3e dcj daje + Е
s = j dcs daje' ie? Ej. Охарактеризуємо тепер звичайні ринкові рівноваги в цій економіці. Нехай p - ціни перше l благ. Ціну (l + 1)-го блага будемо вважати рівною 1. При цих цінах споживання перших l благ Xi і створення екстерналій ai споживачем i визначається на основі рішення
наступного завдання, яка виходить зі звичайної моделі поведінки споживача підстановкою бюджетного обмеження з урахуванням виду функції корисності:
Vj (xj, a) - pxj ^ max
Xi ^ O, aieAi
Диференціальна характеристика внутрішнього по aj вирішення цього завдання має вигляд
9vj. dvj _
^ Pfc і - = pfc, якщо xjfc> 0, Vk,
9xjk 9xjk
J ^ = 0 Ve G Ej.
daje
З урахуванням форми виробничої функції завдання виробника набуває вигляду:
py-- (y-, a) ^ yj maXeAj
Диференціальна характеристика внутрішнього по aj вирішення цього завдання має вигляд
дс, - 9c-_
^ Pfc і - = pfc, якщо y-fc> 0, Vk,
dy-fc dy-fc
Iе-= 0 Ve G Ej.
da -e
Нехай (p, x, y, a) - внутрішню рівновагу. Тоді якщо деяка екстерналія одного типу для всіх споживачів (тільки позитивна або тільки негативна), то стан економіки (x, y, a) не оптимальне по Парето. Цей факт можна встановити як і раніше, порівнюючи диференціальні характеристики Парето-оптимальних і рівноважних станів. Нехай, наприклад, e * G E-* таке, що в цьому рівновазі
^ 0 Vi і -> 0 Vj = j *,
da-"e" da-"e"
причому принаймні одне з цих нерівностей суворе . Тоді
E9vj ^ 9c-
e / daj * e * daj * e *
Оскільки розглядається стан рівноваги, то
9c
= 0.
da-"e * Таким чином,
y ^ 9vj ^ 9a, * e * 9a, * e * 'je / je jeJ je
що означає, що (x, y, a) НЕ Парето-оптимально.
Взагалі кажучи, для того, щоб зробити цей висновок, досить зробити більш слабке припущення, що "граничний ефект" екстерналії, тобто величина
dvj ^ 9с - д ^ ^ Т - ^
"г 9a" а *
^ г ^ 9a
je / jej = j * je
не дорівнює нулю. Позначимо цю величину через е.
Вкажемо також можливі Парето-поліпшення для стану рівноваги для даного випадку. Нехай ((dx, dz), (dy, dr), da) - диференційно мала зміна для стану рівноваги, причому
dx = 0, dy = 0, daj = 0 Vi, da-= 0 Vj = j *, da-"e = 0 Ve = e *.
Тоді ефект зміни виробництва екстерналії a-" e "на величину da-" e "виявиться рівним eda-" e * . Нехай, наприклад, граничний ефект екстерналії a-"e" позитивний (е> 0). Тоді якщо daj * e *> 0, то величина eda-"e * положж ^ даткови. Вона являє собою економією блага (1 + 1) внаслідок зазначеного збільшення виробництва екстерналії e * виробником j *.
Зміна має бути таким, щоб новий стан було допустимим. Ця вимога визначає співвідношення, яким повинні задовольняти зміни. Так, диференціюючи баланс по (1 + 1)-му благу, отримаємо
dzj + 53 dr - = 0.
je / jeJ
Зміна виробництва екстерналії викликають зміни витрат (1 + 1)-го блага на підприємствах:
9с-(y-, a)
dr-= --- j da-* e *,
9a-"e *
причому dr-"= 0, оскільки в рівновазі 9c-" (у-, a) / 9a-"e * = 0. Полезности споживачів при цьому міняються на величини
9v ( x-a)
duj = dvj + dzj = - ^ --- da-"e * + dzj.
Сума змін корисностей з урахуванням співвідношень між змінами дорівнює eda-"e *. Дійсно,
9v o (^ ^ oa)
53 duj = V --- da-"e * + 53 dzj =.
Je: je / 9aj "e * - je /
= j - + e) ??da-" e * - 53 dr-=.
JeJ 9aj * e * jeJ
= 53 dr-+ eda-"e * - 53 dr-= eda-" e *. jeJ jeJ
Існують такі {dzj}, що всі duj позитивні. Якщо, наприклад,
9v o (^ ^ * a)
dzj = eda-"e * / m ^ --- da-" e * Vi,
то
duj = eda-"e * / m> 0 Vi.
Зрозуміло, що якщо рівновагу з податками Парето- оптимально, то величина, наприклад, ставки податку, що стягується з виробника j за випуск одиниці екстерналій повинна бути дорівнює граничному ефекту екстерналій, взятому зі знаком мінус, тобто
_ ^ 9vj ^ 9cs
He = ->. T г
je / 9a? es = j 9a-e Аналогічно для екстерналії, виробленої споживачем,
tie = - У "- + У-9C-. ie 9aie 9aie
9vs + у ^ 9с-
,. 9aje I
s = j je jeJ Це варіант правила Пігу для квазилинейной економіки.
Назад, якщо ставки податків на виробництво екстерналій задовольняють правилу Пігу, то рівновага з податками Парето-оптимально при додаткових припущеннях про те, що функції корисності увігнуті, а функції витрат випуклі.
Ціни екстерналій в рівновазі з торгівлею екстерналіями задовольняють співвідношенням
dvs
qise =, ii, is = i, ie? Ei,
daie
dc '
qije =, ii, ij, ie? Ei,
daie dvi
qjie =-d-1-, ij, ii, ie? Ej,
daje
dcs
qjse =-qP, ij, is = j, ie? Ej,
тобто збігаються з відповідним "граничним збитком" від екстерналії.
Якщо рівновага в економіці з податками і рівновагу в економіці з торгівлею екстерналіями відповідають одному й тому ж станом економіки, то податки і ціни екстерналій зв'язані співвідношеннями
tie - ^] qise + ^] qije.
S = i jeJ
tje = - 53 qjie + 53 qjse,
iei s = j
Зауважимо, що якщо функції корисності увігнуті, а функції витрат випуклі, причому хоча б одна з них строго, то величини податків Пігу та цін екстерналій не залежить від стану рівноваги і розраховуються за вказаними вище формулами на вирішенні задачі (WE).
Інтерес представляє також окремий випадок, коли вплив екстерналій на добробут споживачів і виробничі можливості виробників не залежить від рівня споживання і виробництва звичайних благ, тобто ситуацію, коли функції корисності і функції витрат мають такий вигляд (сепарабельного):
Ui (xi, Zi, ai, a_i) = vi (xi, a_i) + zi - vix (xi) + via (a) + zi,,
cj (yj, aj, a_j) = cjy (yj) + cja (a).
У цьому випадку обсяг виробництва і споживання всіх звичайних благ (крім квазілінійного блага) не залежить від типу рівноваги (один і той же, як в "звичайному" ринковому рівновазі, так і в рівновазі з податками та в рівновазі з торгівлею екстерналіями), хоча виробництво і споживання екстерналій в цих станах можуть відрізнятися. Більше того, ринки сепара-бельной екстерналій можна аналізувати незалежно від ринків звичайних благ.
Приклад 49 ((Курець і некурящий)):
Модифікуємо Приклад 47 для квазилинейной економіки з сепарабельного екстерналія-ми. Нехай функції корисності студентів мають вигляд
Ui = vix (Xi) + via (a) + Zi, i = 1,2,
де Xi - обсяги споживання " звичайних "благ, Zi - кількість грошей на інші блага, a ^ 0 - кількість викурених першим з них сигарет. Як і раніше, другий учасник - некурящий, і v'2a (a) <0, а у першого, навпаки, v [a (a)> 0, якщо кількість сигарет менше a (a> 0) і v'1a (a ) <0, якщо a> a.

Як вже говорилося, можна "забути" про існування благ xj і зосередиться на екстерналії a і квазілінійного благо Zj. Оскільки ситуація фактично "двовимірна", то вона, як і раніше, ілюструється за допомогою Рис. 10.1 (тільки по горизонтальних осях відкладається Zj).
У точці A, відповідної абсолютного праву некурящого на чисте повітря (a = 0) мають місце нерівності г> 2a (0) <0 Якщо виконано-г2a (0) W (a) = via (a) + V2a (a).
У граничному Парето-оптимум (a = 0) має бути виконане W '(0) ^ 0, тобто - v2a (0) ^ VIа (0).
З цього стану можна зробити строге Парето-поліпшення виду da> 0, dz2> 0, dz1 =-dz2 <0. При цьому
dv1 = vi a (0) da - dz2, dv2 = v2a (0) da + dz2.
Для того, щоб одночасно dvi> 0 і dv2> 0, потрібно вибрати dz2 так, щоб
-г2a (0) da У точці B, відповідної праву вільно курити (a = a), виконано via (a) = 0, v2a (a) <0. Ясно, що при цьому умова оптимальності W '(a) = 0 не виконано. Парето-поліпшення має мати вигляд da <0, dzi> 0, dz2 = - dzi <0. При цьому
dv1 = dzi, dv2 = v2 a (a) da - dzi.
Некурящий поліпшить свій добробут (dv2> 0) при dzi <г2a (a) da.
Внутрішня рівновага з торгівлею екстерналіями характеризується співвідношеннями г2a (a) =-q і via (a) = q, де a - кількість диму в цьому рівновазі. При цьому W '(a) = 0. Д
Приклад 50 ((Екстерналії у виробництві, приватне рівновага)):
Розглянемо квазілінійного економіку з 3 благами (1 = 2) і двома виробниками, які виробляють 1 - е і 2-е блага відповідно, витрачаючи 3-е благо. Їх функції витрат залежать від деяких дій першого виробника (наприклад, дій щодо зменшення забруднень, які (забруднення) негативно впливають на умови діяльності другого виробника.
Будемо припускати, що обсяг забруднень, вироблених першим виробником, однозначно визначається обсягом випускається їм продукції yi ^ 0 і тому можемо бути виміряний цим обсягом. Тим самим ми повертаємося до підходу, обговорення в першому параграфі даної глави. Будемо вважати також, що зовнішній вплив першого підприємства на друге збільшує витрати 2-го підприємства на одну і ту ж величину, незалежно від випуску цього підприємства:
ci = Ci (yi) і С2 = C22 (y2) + C2i (yi)
причому c'2i (yi)> 0.
Надалі будемо також припускати виконаними стандартні припущення неокласичного аналізу, а саме, граничні витрати обох виробників позитивні
Ci (yi)> 0, 42И> 0,

і не убувають за обсягами виробництва. Споживчий попит породжується репрезентативним споживачем з сепарабельного функцією корисності
U = vi (xi) + v2 (X2) + Z,
такий що граничні корисності vk (x) є позитивними і убувають.
Проілюструємо на цьому простому прикладі всі розглянуті нами інструменти коректування фіаско ринку. Парето-оптимум.
Індикатор добробуту для даної економіки має вигляд
W = vi (yi) + v2 (y2) - ci (yi) - c22 (y2) - c2i (yi) .
Диференціюючи його, отримуємо наступну диференціальну характеристику Парето-оптимальних станів:
vi И = ci (yi) + c2i (yi),
v2 (y2) = cc22 (У2).
Якщо загальні витрати c'i (yi) + c2i (yi) не зменшуються, то при зроблених вище припущеннях, ця диференційна характеристика однозначно визначає обсяги виробництва перших двох благ в Парето-оптимальних станах. Тому ми можемо говорити про Парето-оптимальних обсягах виробництва yi і г / 2. Ринкове рівновагу.
Оскільки зворотні функції попиту і зворотні функції пропозиції мають вид:
Pi (yi) = vi (У1), PD (yi) = v2 (V2), PS (yi) = Ci (Уl), PS (yi) = c22 (y2 \
то ринкова рівновага визначає наступна диференціальна характеристика (рівність цін попиту та пропозиції на обох ринках):
 vi (yi) = ci (yi), v2 Ш = c2 2 (y2).
 Сепарабельного функції корисності призводить до незалежності обсягів попиту та пропозиції першого і другого блага від інших благ і тому дозволяє аналізувати їхні ринки незалежно один від одного. Надалі ми будемо характеризувати тільки ринок першого блага, так як характеристики ринку іншого не залежать від обраних способів регулювання першого. Зауважимо також, що відсутність зовнішнього впливу першого виробника на другий призводить до того, що виробництво другого блага в ринковому рівновазі одно його кількістю в кожному Парето-оптимальному стані y2 = y2 (Парето-оптимальній кількості). З іншого боку, порівнюючи характеристики рівноважного і Парето-оптимального кількості першого блага, можемо зробити висновок, що при зроблених припущеннях щодо зовнішніх впливів (негативні екстерналії) виконано yi 0 при yi = yi і дорівнює 0 при yi = yi.
 Рис. 10.2 показує оптимальний yi і рівноважний yi випуски першого виробника і ілюструє причину фіаско ринку: перший виробник у своїх розрахунках витрат і доходу бере до уваги тільки частина дійсних граничних витрат, пов'язаних з виробництвом першого блага. Тут ci (yi) - приватні граничні витрати 1-го підприємства, а ci (yi) + (? 2 \ (yi) - громадські граничні витрати. Різниця, c2i (yi), відповідає граничному збитку від екстерналії.


 Рис. 10.2.
 yi yi yi
 Квотування.
 При кількісному обмеженні (квотою) на обсяг випуску першого виробника в розмірі yi = yi рівновагу з квотами на ринку 1-го блага встановиться при ціні pi = pi (yi) і обсязі виробництва yi.
 Податок Пігу.
 Ставка податку Пігу на забруднення дорівнює
 t = c2i (yi),
 оскільки при такому податок рівновагу з податками Парето-оптимально. Дійсно, рішенням задачі 1-го виробника,
 ni (yi) = piyi - ci (yi) - tyi ^ max,
 при ціні першого блага pi = pD (yi) є величина yi.
 Дотації за скорочення забруднень.
 Інше можливе рішення проблеми екстерналій - дотації за зменшення обсягу їх виробництва нижче деякої встановленої квоти yi. Нехай s - ставка такого дотаційного відшкодування. Тоді прибуток від випуску yi одиниць продукції в умовах дотацій приносить прибуток у розмірі
 П (yi) = piyi - ci (yi) + s (yi - yi),
 і тому досягає максимального розміру при обсязі випуску yi (одиниць продукції), який визначається з рівняння
 pi = ci (yi) + s.
 Як і вище, ставка дотаційних виплат у розмірі s = c2i (yi) при ціні першого блага pi = pD (yi) забезпечує виробництво оптимального обсягу продукції yi (і оптимального обсягу екстерналій). Це означає, що pi = pD (yi) - ціна рівноваги на ринку 1-го блага при такому виборі ставки дотацій.
 Зауважимо, що величина квоти не впливає на рівновагу на ринку першого блага. При yi = 0 дотація виявляється податком, так як в рівновазі yi> yi = 0.
 Торгівля екстерналіями.
 Нагадаємо, що К. Ерроу бачив проблему екстерналій у відсутності ринку екстерналій. Припустимо, що існує ринок екстерналій і нехай ціна одиниці екстерналії становить q. Обсяг виробництва екстерналій позначимо a.
 Тоді завдання першого виробника має вигляд
 П = pi yi - qa - ci (yi) ^ max, yi = a,

 а завдання другого виробника має вигляд
 П2 = P2V2 + qa - c22 (y2) - c2i (a) ^ max.
 y2, a
 Покажемо, що ціни pi = pD (VI), P2 = pD (V2) і q = c> 2i ('yi) є цінами рівноваги на ринках перших двох благ і екстерналій, а рівноважні обсяги виробництва будуть рівні VI = a = yi і V2 = y2.
 Пропозиція екстерналій (їх виробництво першим виробником) складає тоді величину a, певну співвідношенням
 Pi - q = c'i (a),
 а попит - співвідношенням
 q = c2i (a).
 Рівновага (рівність попиту та пропозиції) на ринку екстерналій визначає обсяг їх виробництва, що задовольняє співвідношенню
 Pi = c'i (a) + c2i (a).
 При Pi = PD (VI) рішенням цього рівняння є VI.
 При зазначених цінах і обсягах виробництва перших двох благ ціни попиту та пропозиції на перші два блага рівні:
 PD (Vi) = ci (Vi) + c'2i (Vi) = Pf (Vi)
и
 PD (V2) = C'22 (V2) = PS (Vi), що означає, що відповідні ціни є рівноважними. Д
 « Попередня  Наступна »
 = Перейти до змісту підручника =
 Інформація, релевантна "10.8 Екстерналії в квазилинейной економіці"
  1.  Зміст
      екстерналіями 337 Проблема екстерналій 338 10.2.1 Завдання 341 Властивості економіки з екстерналіями 341 10.3.1 Завдання 349 Рівновага з квотами на екстерналії 350 Рівновага з податками на екстерналії 352 10.5.1 Завдання 357 Ринки екстерналій 358 10.6.1 Завдання 364 Альтернативна модель економіки з екстерналіями 364 10.7.1 Завдання 367 Екстерналії в квазилинейной економіці 368 10.8.1
  2.  Введення
      екстерналія і суспільних благ. У них аналізуються причини поганої роботи некоордініруемого ринкового механізму, а також різні механізми координації. Особливістю цих трьох глав є те, що аналіз практично ніде не виходить за рамки загальної рівноваги, що, як нам здається, вигідно відрізняє наш підхід від підходів інших авторів підручників з мікроекономіки. Завдяки цьому, наприклад,
  3.  10.5.1 Завдання
      екстерналіями функції корисності двох споживачів мають вид ui = 2yS7 + Zi і u2 = 2 ^ x2 - xi + Z2, а функція витрат єдиного підприємства має вигляд c (y) = y. Початкові запаси першого блага (блага x) дорівнюють нулю. Охарактеризуйте Парето-оптимальні стану даної економіки. Знайдіть рівновагу і податки Пігу. ^ 470. У квазилинейной економіці з екстерналіями функції корисності двох споживачів
  4.  10.10 Торгівля квотами на однорідні екстерналії
      екстерналіями неявно припускали існування деякої системи прав власності на екстерналії. Так, ринкова рівновага передбачає право виробника екстерналій на їх виробництво в будь-якому обсязі. Рівновага з податками і рівновагу з торгівлею екстерналіями передбачає відшкодування збитку від екстерналій тими, хто їх виробляє. У цій параграфі ми вивчимо вплив інших систем прав
  5.  10.10.1 Завдання
      екстерналія-ми. Перше благо виробляється з другого за технологіями, описуваних функціями витрат виду (j + n \ 2 cj (yj, aj) = y2 + (^ aj - (j = 1 ooo, n), де yj - обсяг виробництва першого блага, aj - обсяг виробництва екстерналій. Функція корисності репрезентативного споживача має вигляд де x - обсяг споживання першого блага, z - обсяг споживання другого блага. Знайдіть
  6.  11.3 Рівновага з добровільним фінансуванням суспільного блага (рівновага без координації)
      екстерналій відповідає ринкове рівновагу, в якому, як правило, суспільне благо не проводиться, так як в ньому немає механізму відшкодування виробникам суспільних благ їх витрат на таке виробництво. Альтернативна можливість - механізм фінансування суспільного блага на основі добровільних внесків (пожертв) споживачів цього блага. Прикладами служать добровільні внески до
  7.  11.4 Рівновага (псевдоравновесіе) Ліндаль
      екстерналій (все вироблене кількість блага k, k Е Ki, має споживатися кожним споживачем). Тому, відповідно до рецепту розглянутого в попередньому розділі "рішення" для економіки з екстерналіями, для кожного такого типу екстерналій повинні бути засновані ринки (I х Ki замість Ki як у випадку, якби ці блага були приватними) з власними (індивідуалізованими) цінами
  8.  Предметний покажчик
      екстерналій 335 надлишок про споживача (consumer's surplus) .. 222, 476 про сукупний (gross surplus) 493 изокванта 149 інвестування 251, 261 індекс Ласпейреса 111 індекс Лернера (Lerner index) 462 індекс Пааше 111 індикатор добробуту (welfare function) 217 ??інтергріруемость попиту 112 інформаційна рента 586 інформаційне безліч (information set) 651, 652, 654, 666,
  9.  Іспит з мікроекономіки для студентів 5 курсу
      екстерналії у разі, якщо корисність автомобіліста буде дорівнює v (x1) якщо аварія не відбудеться і-p (x1, x2) c1 якщо станеться? Для моделі найму (з двома можливими діями) покажіть, що (а) Якщо власник нейтральний по відношенню до ризику, а менеджер - ризико-фоб, причому дії менеджера наблюдаеми власником, то в інтересах власника повністю застрахувати менеджера, зв'язавши оплату його
  10.  Класичні (вчинені) ринки. Загальна рівновага
      квазілінійного-сепарабельного?? У цьому розділі ми торкнемося положення формальної моделі вибору та її основні компоненти в загальному вигляді. У наступних розділах ми проведемо аналіз різних її частинах випадків спираючись на властивості цієї загальної моделі вибору. Викладаючи основи теорії вибору ми для зручності будемо робити акцент на її використанні в моделях поведінки споживача, оскільки це область
енциклопедія  млинці  глінтвейн  кабачки  медовуха