Регіональна і національна економіка / Аналіз фінансово-господарської діяльності підприємства / Орендні відносини / Аудит / Бізнес- планування / Бухгалтерський облік і контроль / Бюджетна система / Інвестування / Інноваційна діяльність / Інформаційні системи в економіці / Кризова економіка / Лізинг / Логістика / Математичні методи і та моделювання в економіці / Організація виробництва / Оцінка і оціночна діяльність / Споживча кооперація / Страхова справа / Теорія управління економічними системами / Теорія економіки / Управління фінансами на підприємстві / Економіка гірської промисловості / Економіка міського і сільського господарства / Економіка нерухомості / Економіка нафтогазових галузей промисловості / Економіка природокористування та природоохоронної діяльності / Економіка, організація і управління підприємствами / Економічна статистики / Економічний аналіз / Економічне прогнозування
ГоловнаЕкономіка та управління народним господарствомЕкономічний аналіз → 
« Попередня Наступна »
Р.Л. Раяцкас, М.К. Плакун. Кількісний АНАЛІЗ В ЕКОНОМІЦІ, 1987 - перейти до змісту підручника

1,1,3. Критика математичних методів в західній економічній науці

Застосування математичних методів в економічних науках ніяк не можна пов'язувати з західної економічної наукою. Багато провідні економісти Заходу вкрай негативно ставилися до застосування математики.

Так, Е. фон Вем-Баверк, один з лідерів «суб'єктивної школи», якого називають «буржуазним Марксом» [395, с. 174], вважав, що використання математики призводить до порочного кола в міркуваннях [73]. Характеризуючи роботи близьких йому по ряду теоретичних уявлень про вартість, корисність і т. п. У * С. Джевон-са і JI. Вальраса, які активно використовували математику у своїх дослідженнях, Вем-Баверк писав: «Близько підходять до поглядам Менгера дотепні керівники,, математичного направленія44 в політичній економії, хоча їх дослідження з логічної ясності і закінченості і поступаються дослідженням першого ...» [73, с. 20-21]. «Основні ідеї (теорії граничної корисності. - Прим, авпг,),,. були розвинені в німецькій економічній літературі задовго до Вальраса і Джевонса; правда, вони не наділені тут в математичну форму, але зате викладені з надзвичайною ясністю і цілком самостійно: ми говоримо про,, підставах політичної економіі44 ... Менгера »[74, с. 170]. Математика розглядається Бем-Баверком тільки як один із способів викладу економічної теорії, причому не найкращий: втрачається нібито «ясність і логічна суворість» викладу.

Ще більш рішуче виступав проти математичних методів в економіці такий видатний представник «австрійської школи», як JT. фон Мізес [505]. На його думку, «... математичний метод повинен бути відкинутий не тільки тому, що він безплідний. Це абсолютно неправильний метод, що виходить з невірних передумов і ведучий до помилкових висновків. Споруджувані в відповідності з цим методом силогізми не тільки позбавлені практичної цінності, вони відволікають від вивчення реальних проблем і спотворюють співвідношення між різними явищами »[395, с. 205]. Характеризуючи погляди Мізеса на математичні методи в економіці, Б. Селигмен зазначає: «Коли завдання полягає в тому, щоб спростувати соціалістичну теорію загального добробуту, та й будь-яку іншу різновид соціалізм переслідується-ющую ту ж мету, то при цьому істотну роль грає заперечення математичних розрахунків »[395, с. 206].

Сам Б. Селигмен у своєму великому праці з історії економічної науки досить холодно відгукується про застосування математики в економіці. Основні закиди зводяться до того, що мова математики не зрозумілий і що математика не додає нічого нового до старих економічним теоріям. «В даний час багато теоретиків, зачаровані методами аналізу, які вони створюють і перекроюють, описують ці проблеми (економіческіе. - Прим,. Авт.) Абсолютно незрозумілою мовою, мовою символів і формул, результати яких мало що додають до того, що може сказати ,, літературний44 економіст ... Математика може надати допомогу в чіткій постановці проблеми, але вона не робить кращим економістом того, хто її використовує ... Вміння маніпулювати символами не означає підвищення кваліфікації економіста як економіста »[395, с. 534]. І далі Б. Селигмен з деякою гіркотою констатує: «... Проте, математичний апарат прийнятий на озброєння і його нічим не можна замінити, навіть якщо хто-небудь і захотів би зробити це» [395, с. 534]. Описуючи погляди інституціоналістів, які, так само як і представники «історичної школи», вважали застосування математики в економіці марним і навіть шкідливим заняттям, Б. Селигмен фактично солідаризується з ними в цьому питанні. Він пише: «Хоча точність математичної формули дійсно витончена, вона в той же час оманлива. Інстітуціоналі-сту нова політична економія представляється чимось на зразок шахової гри, і користь від неї - приблизно така ж, як від шахів. На жаль, більшість економістів нині воліють цю гру в шахи »[395, с. 75].

1.1.4. Традиція філософської критики

застосування математики в природних і соціальних науках

2 *

19 Критика математики і її додатків в інших наукових дисциплінах має , мабуть, таку ж довгу історію, як і сама математика. Античний світ загалом лояльно ставився до занять математикою, хоча від неї не очікували і не вимагали серйозних практичних додатків, з його занепадом почався застій [412]. Коли ж інтерес до науки відновився, Р. Бекону довелося доводити силу математики «в науках, мирських справах і заняттях» [71, с. 865]. Серед інших аргументів на користь математики Р. Бекон наводив і такий: «... Для нас природний шлях від легкого до важкого. А ця наука найлегша, що очевидно з того, що вона доступна розуму кожного. Бо миряни і люди, зовсім не вміють читати і писати, вміють черііть, і рахувати, і співати, а все це-математичні заняття ... навіть найгрубіші духовні особи здатні вивчити математику, хоча б вони і були непридатні до осягнення інших наук »[71, с. 867].

Р. Бекон вказував на те, що нехтування математикою «вже протягом 300 або 400 років зруйнувало всяке знання у латинян» [71, с. 865], в той час як конкуренти - магометани - досягли помітних успіхів у розвитку науки і техніки. Однак і у правовірних мусульман математика викликала підозри. Газалі, що жив приблизно за два століття до Р. Бекона, зазначав, що «мало існує людей, що займаються математикою і що не стають при цьому віровідступниками і не скидайте-с голів своїх узд благочестя» [106, с. 745]. Однак Газалі застерігав «неосвічених друзів ісламу»: «Велике злочин перед релігією здійснюють люди, які вирішили, що ісламу можна допомогти запереченням математичних наук» [106, с. 746].

Огляд критики математики як такої і аналіз цієї критики виходять за рамки даної роботи, яка присвячена пошуку меж застосування кількісних методів у економіці. Однак інтерес представляє хоча б короткий огляд заперечень проти застосування математики в різних галузях знання.

Вже до початку минулого століття математичні, і зокрема кількісні, методи дозволили отримати ряд фундаментальних результатів в природничих науках, в першу чергу у фізиці. Але ці успіхи не усунули сумнівів у необхідності і навіть можливості застосування математики у фізиці. Заперечення, які робилися проти застосування математики у фізиці, в той час повчальні; крім того, саме в той же час як реакція на успіхи математики у фізиці виникло серйозне обгрунтування концепції, відповідно до якої стверджувалося, що навіть якщо математика придатна для вирішення фрізіческіх проблем , то її не можна використовувати для вирішення проблем соціологічних, психологічних, економічних і т. д.

Сумніви в можливості застосування математики у фізиці були чітко і ясно сформульовані, зокрема, професором фізики, мінералогії та сільського господарства Московського університету М. Г. Павловим в 1837 р. у статті «Про іеумесіності математики у фізиці». Його аргументація повчальна і зводиться до наступного: «Істина є схожість наших понять з предметом розуміється, а з тим разом вона є і знання ... Якщо кожна наука є визначення, тобто вилучення з усього многоразлічіі визначеного та невизначеного, то одна наука в іншій бути не може: отже, і математики у фізиці бути не може.

.. Вживання результатів однієї науки в інший не є злиття їх меж: бо кожна наука, як визначення, полягає в своїх власних кордонах; зв'язок наук, як наслідок спорідненості предметів, в них розглянутих, анітрохи не служить тому протиріччям. Злиття предметів у павуків можливо тільки в головах туманних, в яких, по недоліку логічної налаштованості, всі плутається і ніщо з іншим не в'яжеться. Якщо додаток математичних обчислень до предметів наук не їсти включення самої математики в науки (бо додаток обчислень утворює особливу галузь знання: прикладну математику) і якщо математика тому недоречна ні в одній науці, то чому главною жертвою насильницького її вторгнення зробилася саме фізика? »[335 , с. 155-156]. Отже, за М. Г. Павлову, знання, тобто істина, є схожість понять з їх предметами. Кожна наука - система понять, подібних з певною областю предметного світу. Фізика - це система понять, подібних з фізичними предметами (об'єктами, процесами і т. д.). Математичні поняття не подібні ні з якими фізичними предметами. Отже, робить висновок М. Г. Павлов, математика у фізиці недоречна.

Відзначимо важливе зауваження М. Г. Павлова: «Математика ... недоречна ні в одній науці ». Це випливає безпосередньо з його аргументації, в якій фізику усюди можна замінити хімією, економікою, історією, біологією і т. д., тобто науками, мають свій прообраз в світі предметів понять.

Однак математизація фізики та інших наук про неживу природу - це нині емпіричний факт. Можна дивитися «на надзвичайну ефективність математики в природничих науках як на щось загадкове, не піддається раціональному поясненню» [84, с. 183], але ігнорувати цей факт не можна. Спроби розвитку «фізики без математики» (наприклад, І.-В. Гете розробляв принципово нематематичного теорію світла, яку протиставляв математизированной оптиці І. Ньютона [114], [120], [1211, [193], [199]) закінчилися невдачею . «Фізика без математики» не витримала конкуренції з «фізикою з математикою».

Інакше йде поки справа в науках про живу природу. Тут математизація зустрічається з серйозними труднощами, і успіхи її в порівнянні, наприклад, з «біологією без математики» все ще досить скромні. Ця обставина служить свого роду «емпіричним базисом» для тверджень, що хоча математика можливо і ефективна в фізиці, в біології вона практично нічого не дає. Наведемо висловлювання Г. Г. Винберга: «... Багатозначність, що відображає різноманіття проявів життя і їх залежність від навколишнього середовища, ускладнює необхідну для застосування математичних методів формалізацію біологічних понять без надмірного збіднення їх змісту. Таке утруднення має бути усвідомлене і подолано шляхом розробки адекватних біологічним об'єктам математичних побудов ... Завдяки специфічним об'єктам біології - кожен з яких неповторний та унікальний результат діяльності адаптивної еволюції - своєрідності методів дослідження, серед яких ... чільне місце має належати дескриптивного методу, теорія біології істотно відрізняється від теорій фізики та інших наук про неживу природу ... Спрощене уявлення про методологію біології, ігнорування її відмінностей від методології наук про неживу природу перешкоджають належній організації біологічних досліджень та створення нових методів, в їх числі математичних, адекватних специфічної особливості живого світу - різноманіттю форм прояви життя ... »[88, с. 10-11].

Г. Г. Винберг пише про застосування математики в біологічних науках, однак твердження про відмінність (і, мабуть, істотному) методології наук про живу природу від методології наук про неживу природу дає можливість поширити ці висновки і на економічні науки, тобто науки про суспільство. Заяви Г. Г. Винберга про необхідність (або, принаймні, бажаності) розробки нових методів, «у тому числі і математичних», викликані, як нам видається, тільки бажанням підсолодити пілюлю. Нові методи, в тому числі і математичні побудови, повинні бути ^ по Г. Г. Вин-бергу, адекватні специфіці об'єкта дослідження, яка проявляється в неоднозначності, багатозначності проявів життя та їх залежності від навколишнього середовища. Але для того щоб застосовувати математику, поняття математізіруемой області знання мають бути однозначно визначені, тобто формалізовані. А це, на думку Г. Г. Винберга, істотно збіднює їх зміст, що, звичайно, неприпустимо. Вимога ж створити математику, яка могла б оперувати з нечіткими ^ розмитими, неоднозначно певними поняттями, рівносильно вимогу створити математику, яка не була б математикою 4.

Заперечення проти застосування математики в природничих науках про природу і суспільство спираються на досить стійкі філософські традиції. Так, А. Шопенгауер відчував у раціональності математики виклик своєму думку про світ як про волі і виставі * А. Прінсгейм подає таке висловлювання А. Шопенгауера: «Обчислення мають цінність тільки для практики, але не для теорії. Можна навіть так сказати, що там,; де починаються обчислення, розуміння припиняється ^, бо тому, хто оперує числами, причинний зв'язок фізичних явищ залишається під час його обчислень абсолютно чужою: він весь занурений в чисто абстрактні числа. Одержуваний ними результат ніколи не відповідає на питання що, а завжди тільки на питання скільки »[357 ^ с. 121].

 Г. Гегель вказував на обмеженість «односторонньо-математичного» погляду на світ, який «має своїм завданням порівнювати залучені до розгляду предмети. Не можна не визнати, що таким шляхом були досягнуті деякі дуже значні результати, і в цьому відношенні слід особливо нагадати про великих успіхи новітнього часу в областях порівняльної анатомії та порівняльного мовознавства. При цьому вчені заходили надто далеко, припускаючи, що цей порівняльний метод можна застосовувати з однаковим успіхом у всіх областях пізнання ... Одне лише порівняння не може дати повного задоволення наукової потреби ... вищевказані досягнуті цим методом результати повинні розглядатися лише як ... підго-товітельних роботи для справді осягає пізнання. Оскільки, втім, при порівнянні справа йде про те, щоб звести наявні наявності відмінності до тотожності, математика повинна розглядатися як наука, в якій ця мета досягнута найбільш повно, і вона досягла цього упех саме тому, що кількісне розходження являє собою лише абсолютно зовнішнє розходження ... Ні емпіричні науки, ні філософія аж ніяк не повинні заздрити математики через це її переваги »[21, т. 3, с. 313-314]. 

 Найбільш розгорнуте обгрунтування неможливості (або, принаймні, малої ефективності застосування математики в науках про живу (біологія, психологія, економіка, історія і т. д.) міститься в роботах В. Віндель-банда, Г. Ріккерта і деяких інших представників баденською школи неокантіанства [90], [383], по поглядам яких існує різка межа між науками про живій і неживій природі. Вихідним пунктом такого розмежування наук є кантовский тезу про відмінність теоретичного і практичного розуму і про примат корисного [444], з якого неокантіанців зробили висновок про два принципово різних шляхах пізнання і двох принципово різних групах наук: науки номотетіческіе і ідіографіческій (В.

 Віндельбанд [90]), або науки, засновані на генерализирующий методі пізнання, - естественноматематіческіе науки - і науки, засновані на індивідуалізують метод пізнання, - історичні (включаючи науку про господарство - економіку) (Г. Ріккерт [382], [383]) . Номотетіческіе науки - природознавство - відшукують загальне, повторюване, закономірне. Застосування математики тут природно. Ідіографіческій науки, користуючись индивидуализирующим методом, вивчають одиничне, особливе, неповторне. Математика тут неприйнятна, так як вона абстрактна, за своєю природою не може розглядати одиничні, абсолютно індивідуальні, неповторні ні в просторі, ні в часі явища. Номотетіческіе науки «суть науки про закони, інші - науки про події» [90, с. 319-320]. При цьому, як писав Г. Ріккерт, «чим більшу досконалість ми надаємо нашим природничонауковим теоріям, тим більше ми віддаляємося від дійсності» [383, с. 209], яка завжди індивідуальна, конкретна, неповторна, безпосередньо пережіваема. 

 Природничо пізнання мислиться таким чином як процес послідовного абстрагування від дійсності, а не як «сходження від абстрактного до конкретного». Ми не будемо зупинятися тут на критичному аналізі поглядів баденською школи неокантіанства на предмет і теорію пізнання; ці погляди детально розібрані в марксистсько-ленінської філософії (див., наприклад, [25], [26], [142], [444]). Відзначимо, однак, що оцінка цих поглядів буде односторонньою і, отже, некоректною, якщо не брати до уваги, що в часи Виндельбанда і Риккерта поняття «закономірність явищ у соціально-економічній сфе-ре» трактувалося механістичним матеріалізмом зайво спрощено, що знайшло відображення в відомих «Тезах про Фейєрбаха» К. Маркса: «Головний недолік всього попереднього матеріалізму - включаючи і Фейєрбаха-ський - полягає в тому, що предмет, дійсність, чуттєвість береться тільки у формі об'єкта, або у формі споглядання, а не як людська чуттєва діяльність , практика, не суб'єктивно. Звідси і сталося, що діяльна сторона, на противагу матеріалізму, розвивалася ідеалізмом ... »[1, т. 3, с. 1]. 

 Чільне місце у філософській літературі займав механістичний вульгарний матеріалізм. Один з представників цієї течії філософської думки, - В. А. Зайцев інтерпретував результати статистичних досліджень А. Кетле [209] та його послідовників таким чином: «Людина у всіх своїх діях, від найважливіших, аж до незначних, кориться статистичним законам .. . Якщо з 600 чоловік - ред, з і т. д. - один повинен вчинити злочин, то чи можна сказати, що він зробив його добровільно? Люди, що говорять про свободу волі і дивляться на людину з драматичною точки зору, думають, що людина може противитися з успіхом потягу своєї плоті. Але позитивний факт говорить нам, що з цих 600 чоловік один неодмінно зобов'язаний вчинити злочин. Де ж тут свобода волі? Хто може засудити цю безособову одиницю, поки вона залишається безособової? А між тим, як скоро стане відомою, що злочин скоєно я, то його судять і звинувачують, забуваючи, що якби а не вчинив злочин, то його вчинив би Ь або з, що, отже, злочинець повинен неодмінно бути, що виключає абсолютно можливість обвинувачення »[174, с. 76-78]. 

 Такі погляди не були винятком. Перші серйозні додатки методів природничих наук до соціальної сфери справили сильне враження: «Нічого подоб-ного ніхто досі собі не уявляв при всій вірі в те, що і людське життя управляється природними законами. Звістка про це відкриття рознеслася з швидкістю блискавки по всьому цивілізованому світу. Матеріалістичні погляди на світ і людей знаходять у ньому своє незаперечне підтвердження, - думали з торжеством одні. Факти ці руйнують весь моральний світ людини, перетворюють на прах все, що людина вважала досі святим і високим, - кажуть в зневірі інші. Заперечувати наведені Кетле факти не можна було: вони були занадто очевидні для всякого »[374, с, 68]. Пішов ряд додатків, особливо теорії ймовірностей і статистики, багато з яких носили просто анекдотичний характер (див., наприклад, роботи П. А. Некрасова [314], [315]). Початковий ентузіазм змінився глибоким розчаруванням [128], що виявилися, зокрема, у різкому розмежуванні природних і суспільних наук, сфери «безособового» та індивідуального. 

 Некоректне, а часто і некомпетентне застосування математичного апарату, особливо теоретико-веро-ятностного, до соціальних, економічних і т. п. «людським» проблемам породило відповідні настрої і серед математиків - бажання відсторонитися від вирішення прикладних питань у цій галузі. Ця позиція, психологічно цілком зрозуміла, досить чітко була сформульована А. А. Марковим в одному з його листів до А. А. Чупрова: «Звичайно, дуже цікаво і важливо, щоб питання математичного аналізу знаходилися у відомому відповідно до вимог практики. Але повного збігу між вимогами практики і питаннями математичного аналізу не може бути ... всі досвідчені науки займаються наближеним розшуком чисел, які в строго математичному сенсі не існують ... Я взагалі намагаюся нічого не затверджувати, крім результатів своїх обчислень ... я ставлюся до питання про застосовність теорії ймовірностей байдуже, відзначаючи тільки, які при цьому треба зробити припущення, і висловлюючи сумніви у здійсненності їх. І я наголошую, що довести правильність такого додатка ніяк не можна »[331, с. 46]. 

 Це написано в 1910 р. А от аналогічна точка зору сучасного фахівця з математичної статистики і теорії планування експерименту В. В. На-лімова: «... Необхідно, щоб всі незалежні змінні, в тому числі і приховані або важко вимірні, були включені в модель. Інакше оцінки коефіцієнтів регресії (в неортогональні випадку) будуть зміщеними (теорема Гаусса - Маркова стає неправомірною). При вивченні екосистем це вимога ніколи не виконується. Рівняння регресії зі зміщеними оцінками коефіцієнтів регресії ніякого сенсу не має - це не більше ніж самообман, ложно підкріплений авторитетом математики »[308, с. 41]. 

 Доводи «за» і «проти» застосування математики в науках про природу і суспільство завжди, явно чи неявно, мають на увазі деяку концепцію відносини між реальним світом і світом математичних сутностей. Важко навіть перелічити всі такі концепції, створені за час існування математики (див., наприклад, [11], [80], [214], [216], [339], [341], [375], [411], [465], [512] і бібліографію в цих роботах). Але можна, однак, виділити невелике число образів цих концепцій, що відображають їх найбільш характерні риси, але не відокремлених один від одного різкими і чіткими межами. 

 « Попередня  Наступна »
 = Перейти до змісту підручника =
 Інформація, релевантна "1,1,3. Критика математичних методів в західній економічній науці"
  1.  Конюховскій П. В.. Математичні методи дослідження операцій в економіці - СПб.: Видавництво «Пітер». - 208 с. - (Серія «Короткий курс»)., 2000

  2.  Глава 54. Економіко-математичні методи прогнозування соціально-економічних процесів
      математичні методи прогнозування соціально-економічних
  3.  Глава пер ша РОЛЬ МАТЕМАТИКИ В економічній науці
      Глава пер ша РОЛЬ МАТЕМАТИКИ В ЕКОНОМІЧНОЇ
  4.  Критика антимарксистских економічних теорій
      критиці сучасних антимарксистских теорій просмикнула-на членом кафедри В. С. Афанасьєвим. Їм видано кілька монографій з цих проблемам.1186 У розпал боротьби компартії Чехословаччини проти економічної теорії О. Шика вийшла в світ робота І. М. Мрачко-ської, 10 в якій було дано критичний розбір його концепції. Видавництво «Прогрес» випустило її масовим тиражем англійською мовою, а
  5.  1.1. «За» і «проти» математичних методів 1.1.1. Математичні методи в економічній науці
      критикуються так звані об'єктивно зумовлені оцінки, автором яких є JI. В. Канторович. Третя група заперечень відноситься до питань, пов'язаних із застосуванням сучасної обчислювальної техніки. На думку деяких, ця техніка потрібна тільки для механізації існуючих процесів обліку і планування, де вона прискорить розрахунки і скоротить їх трудомісткість, а отже, застосування
  6.  2.2.2 Країни Західної та Південно-Західної Азії
      2.2.2 Країни Західної та Південно-Західної
  7.  Ашимо А. А., БОРОВСЬКИЙ Ю.В., султанів Б. Т., Аділь Ж.М., НОВІКОВ Д. А., АЛШАНОВ Р. А., Ашимо А. Макроекономічний аналіз і параметричне регулювання національної економіки. М.: Видавництво Фізико-математичної літератури,. 324 c, 2011

  8.  1.1. Склад теорії параметричного регулювання розвитку ринкової економіки
      математичних моделей національного господарства [73]. Багато динамічні системи, в тому числі економічні системи країн [33, 30], після деяких перетворень можуть бути представлені системами нелінійних звичайних диференціальних рівнянь такого вигляду: x (t) = f (x (t), u (t), a), (1.1.1) з початковою умовою x (t0) = x0. (1.1.2) Тут t - час, t Є [to, to + T], T> 0
  9.  ПЕРЕДМОВА
      критиці або за надмірну перевантаженість математичними вишукуваннями і відірваність від реальної економічної проблематики, або за відсутність математичної строгості і коректності, і, природно, кожен автор, виходячи зі своїх смаків, уявлень і вміння, шукає оптимальне поєднання того й іншого. Ну а про те, наскільки це вдається, судить читач ... Книга сприяє розширенню
  10.  Фінансово-економічна
      математична статистика. - М.: Вища школа, 1991. ~ 400 с. 12. Кількісні методи фінансового аналізу / Под ред. С. Дж. Брауна і М.П. Кріпмена. - М.: ИНФРА-М, 1996. - 336 с. 13. Кочовіч Є. Фінансова математика: Теорія і практика фінансово-банківських розрахунків. - М.: Фінанси і статистика, 1994. - 271 с. 14. Крамер Г. Математичні методи статистики. - М.: Світ, 1975. 15. Лукасевич
  11.  -Ф-Дисконтування за простими відсоткам
      математичне та комерційне (так званий банківський облік). У першому випадку як норми приведення використовують ставку г, застосовувану при нарощенні (8.1). У другому випадку в ролі норми приведення виступає так звана облікова ставка, для позначення якої надалі будемо використовувати символ d. про Математичне дисконтування Математичне дисконтування являє
  12.  Дякин В.Н., Матвейкин В.Г., Дмитрієвський Б.С.
     . Оптимізація управління промисловим підприємством: Монографія / За наук. ред. д-ра екон. наук Б.І. Герасимова. Тамбов: Вид-во Тамбо. держ. техн. ун-ту, 2004. 84 с, 2004

      математичних та інструментальних методів економіки, а також аспірантів і студентів економічних спеціальностей вищих навчальних
  13.  Математичне додаток
      Математичне
  14.  СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
      математичні методи. 1995. № 4. С. 96 - 104. Банді Б. Основи лінійного програмування / Пер. з англ. М.: Радіо і зв'язок, 1989. 174 с. Банді Б. Методи оптимізації: Вступний курс / Пер. з англ. М.: Радіо і зв'язок, 1988. 128 с. Батяева А. Динаміка портфеля замовлень і поведінку промислових підприємств / / Питання економіки. 2001. № 12. С. 125 - 136. Бахіту Р., Коробейников Н. Прийняття рішення про
  15.  Глава Математичні додатки
      Глава Математичні
  16.  1.4. Алгоритм застосування теорії параметричного регулювання та правила взаємодії осіб, приймають рішення з вироблення і здійснення ефективної державної економічної політики на базі інформаційної системи підтримки прийняття рішень 1.4.1. Алгоритм застосування теорії параметричного регулювання. Застосування розроблюваної теорії параметричного регулювання еволюції ринкової економіки для вироблення і здійснення ефективної державної економічної політики пр
      математичних моделей економічної системи однієї або декількох математичних моделей, що відповідають завданням економічного розвитку. 3. Оцінка адекватності математичних моделей поставленим завданням. Калібрування математичних моделей (параметрична ідентифікація та ретроспективний прогноз по поточних показниками еволюції економічної системи) і додаткова верифікація обраних
енциклопедія  млинці  глінтвейн  кабачки  медовуха