Головна
Регіональна і національна економіка / Аналіз фінансово-господарської діяльності підприємства / Орендні відносини / Аудит / Бізнес- планування / Бухгалтерський облік і контроль / Бюджетна система / Інвестування / Інноваційна діяльність / Інформаційні системи в економіці / Кризова економіка / Лізинг / Логістика / Математичні методи і та моделювання в економіці / Організація виробництва / Оцінка і оціночна діяльність / Споживча кооперація / Страхова справа / Теорія управління економічними системами / Теорія економіки / Управління фінансами на підприємстві / Економіка гірської промисловості / Економіка міського і сільського господарства / Економіка нерухомості / Економіка нафтогазових галузей промисловості / Економіка природокористування та природоохоронної діяльності / Економіка, організація і управління підприємствами / Економічна статистики / Економічний аналіз / Економічне прогнозування
ГоловнаЕкономіка та управління народним господарствомМатематичні методи та та моделювання в економіці → 
« Попередня Наступна »
І.І. Холявін. МАТЕМАТИЧНЕ ПРОГРАМУВАННЯ ТА ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ. Навчальний посібник для студентів економічних вузів Частина 2. Гатчина 2009, 2009 - перейти до змісту підручника

14.3. Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях.

Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях може бути знайдено або графічно, або методами лінійного програмування. Графічний метод можна застосовувати для вирішення ігор, в яких хоч один гравець має дві чисті стратегії. Цей метод цікавий в тому плані, що графічно пояснює поняття сідлової точки. Методами лінійного програмування може бути вирішена будь-яка гра двох осіб з нульовою сумою.
14.3.1. Графічне рішення ігор 2? П. Розглянемо гру 2? П, в якій гравець А має дві стратегії.
Гра передбачає, що гравець А змішує стратегії А1 і А2 з відповідними ймовірностями p1 = р і p2 = 1-p, 0? P? 1. Гравець В змішує стратегії В1, B2, ..., Вп з вірогідністю q1, q2, ..., qп, де



В1

В2

...

Вп



q1

q2

...

qп

А1
А2

p1 = р
p2 = 1-p

а11
а21

а12
а22

...
...

а1п
а2п

qj ? 0, j = 1,2, ..., п, і = 1. У цьому випадку очікуваний виграш гравця А, відповідний j-й чистої

стратегії гравця В, обчислюється у вигляді
w = (а1j-а2j) p + а2j, j = 1,2, ..., п. (11)
На площині (p, w) ці рівняння описують прямі. Тим самим кожній чистої стратегії гравця В на цій площині відповідає своя пряма. Тому спочатку на площині (р, w) послідовно малюються всі прямі (11) (рис. 1). Потім для кожного значення р,
0? Р? 1, шляхом візуального срав-нения відповідних йому значень w на кожній з по-прибудованих прямих визначає-ся і відзначається найменше з них. У результаті описаної процедури виходить брухту-ная, яка і є графи-ком функції (1) (жирна лінія на рис. 4).

Ця ламана огинає знизу все сімейство побудованих прямих, і тому називається нижньої обвідної цього сімейства. Абсцисою верхньої точки отриманої ламаної буде значення р *, визначальне оптимальну змішану стратегію гравця А, а ординатою? - Ціна гри (рис. 1).
Приклад 6. Розглянемо наступну гру 2? 3:


В1

В2

В3

А1
А2

2
4

3
2

-1
6

| Гра не має рішення в чистих стратегіях (? = 2,? = 3), і, отже, стратегії повинні бути змішаними. Очікувані виграші гравця

А, WА, відповідні чистим стратегіям гравця В, наведені в наступній таблиці.

В j


1
2
3

4-2p
2 + p
6-7p

На рис. 2 зображені три прямі лінії, відповідні чистим стратегіям гравця В. Щоб визначити найкращий результат з найгірших, побудована нижня обвідна трьох

зазначених прямих (зображена на малюнку товстими лінійними сегментами), яка представляє мінімальний (найгірший) виграш для гравця А незалежно від того, що робить гравець В. Максимум (якнайкраще) нижньої обвідної відповідає максимина рішенням в точці
= 0,5. Це значення визначається з рівняння 2 + p = 6-7p, відповідального перетинанню прямих 2 і 3. Отже, оптимальним рішенням для гравця є змішування стратегій В2 і В3 з вірогідністю 0,5 і 0,5 відповідно. Ціна гри v визначається підстановкою p = 0,5 в рівняння або прямий 2, або 3, що призводить до наступного:
v =
Оптимальна змішана стратегія гравця В визна -ляется двома стратегіями, які визначають ниж-ню огибающую графіка. Це означає, що гравець В мо-же змішувати стратегії B2 і В3, в цьому випадку q1 = 0 і q3 = 1-q2 = 1-q.

Отже, очікувані платежі гравця В, відповідні чистим стратегіям гравця А, мають наступний вигляд.

Аi

wB

1
2

-1 +4 q
6-4q

Найкраще рішення з найгірших для гравця В являє собою точку мінімуму верхньої огинає-щей заданих двох прямих. Ця процедура еквівалент-

на вирішення рівняння -1 +4 q = 6-4q. Його рішенням q = 7/8, що визначає ціну гри v = -1 +4? (7/8) = 5/2. Таким чином, рішенням гри для гравця А є змішування стратегій A1 і А2 з рівними ймовірностями 0,5 і 0,5, а для гравця В - змішування стратегій В2 і В3 з вірогідністю 7/8 і 1/8: v = 5/2 , р * = (?;?) і q * = (0; 7/8; 1/8). ?
 
« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " 14.3. Рішення матричних ігор у змішаних стратегіях. "
  1. 14.3.2. Графічне рішення ігор m? 2.
    Матричної грі дві чисті стратегії має гравець В, а число чистих стратегій у гравця А довільно (одно m). Це означає, що платіжна матриця такої гри має вигляд. Аналіз такої гри багато в чому нагадує міркування, описані для гри 2? П. Нехай q = (q, 1-q) - довільна змішана стратегія гравця В. Якщо гравець А вибирає i-ю чисту стратегію, i = 1,2, ..., т, то середній виграш гравця В в
  2. 14.2. Чисті та змішані стратегії та їх властивості.
    Рішення гри ускладнюється. У цих іграх? Lt;?. Застосування мінімаксних стратегій в таких іграх призводить до того, що для кожного з гравців виграш не перевищує?, А програш - не менше ніж?. Для кожного гравця виникає питання збільшення виграшу (зменшення програшу). Рішення знаходять, застосовуючи змішані стратегії. Змішаної стратегією першого (другого) гравця називається вектор р = (p1; ...; рт), де
  3. 1.7. Рівновага Неша в змішаних стратегіях
    іграх рівновагу Неша в чистих стратегіях може бути не єдиним. Однак, як ми побачимо зараз, рівноваги в чистих стратегіях може не існувати взагалі. Приклад. «Гра в орлянку» або «Орел або решка». 2 гравця одночасно, незалежно вибирають або «решку», або «орла». Якщо їх вибір різний, то перший гравець платить другому 1 рубль (долар, і т.д.), якщо їх вибір однаковий, то
  4. 1.2. Ігри в нормальній формі
    матричними (див. докладніше Розділ 1.8). Змішана стратегій щ - це імовірнісний розподіл на безлічі чистих стратегій Si. (Мотивацію введення змішаних стратегій ми залишаємо на майбутнє.) Рандомизация кожним гравцем своїх стратегій статистично незалежна від рандомізації його опонентів, а виграші, що відповідають профілю (набору) змішаних стратегій, - це очікуване значення
  5. КЛЮЧОВІ ПОНЯТТЯ
    рішення задачі про комівояжера. - В кн.: Економіка і математичні методи, 1965, т. 1, № 1, с.
  6. 4.2. Послідовне рівновагу
    грі Г ^;, якщо: (1) набір стратегій а послідовно раціональний при даній системі уявлень р; (2) існує послідовність цілком змішаних стратегій (тобто стратегій, в яких кожна чиста стратегія грається з позитивною ймовірністю)
  7. 1.3. Домінованих стратегії
    рішення. У цьому випадку всі вже залежатиме від «сили»
  8. 17. КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ ДЛЯ ПІДГОТОВКИ ДО ІСПИТУ
    рішення в іграх двох осіб з нульовою сумою 6. Чисті стратегії. Нижня і верхня ціна гри. Cедловая точка для пари чистих стратегій. 7. Геометричне рішення гри виду 2? N. 8. Геометричне рішення гри виду m? 2. 9. Рішення ігор виду m? Nc допомогою методів лінійного програмування. 10. Параметричне програмування. Класифікація задач параметричного програмування і їх
  9. 3.2. Альтернативний погляд на змішані стратегії
    грі з повною інформацією (майже завжди) може інтерпретуватися як БН-рівновагу в чистих стратегіях в деякій «близькою» грі з «трохи» неповною інформацією. («Майже завжди» в тому сенсі, що можна ігнорувати ті рідкісні випадки, коли така інтерпретація недоречна.) Основна риса рівноваги Неша в змішаних стратегіях - це навіть не те, що гравець j вибирає стратегію випадково, а
  10. ІГРИ ТА СТРАТЕГІЇ
    рішення. Перед ним дві можливості, позначені Ь («Лівий») і Я («Правий»). У момент <= 2 гравець 2, що спостерігає початкове рішення гравця 1, приймає рішення. Він вибирає з I («лівий») і г («правий»). Так як кожен гравець грає тільки протягом одного періоду, немає необхідності в поперіодной індексації дій і стратегій. Для зручності корисності (або виплати) обох гравців показані на
  11. 6.1. ТЕОРІЯ ІГОР
    рішень, тобто для випадків, коли рішення приймає окремо взятий суб'єкт, що володіє єдиною метою. Принципово інша ситуація виникає при вивченні процесів прийняття рішень декількома суб'єктами, інтереси яких можуть не збігатися. При цьому виникають завдання з багатьма цільовими функціями (критеріями). Область математики, що вивчає дані проблеми, отримала назву теорії ігор.
  12. 1.10. Рівновага «тремтячою руки»
    гру, зображену на рис. 28. L R U ((2,2) (0, -2) \ D \ (-2,0) (0,0)) Рис. 28. Легко бачити, що в цій грі два Р.Н. в чистих стратегіях (U, L) і (D, R), причому друге рівновагу характерне тим, що обидва гравці вибирають свої слабо домінованих стратегії. Ми зупинимося зараз на понятті досконалого рівноваги (по Нешу) «тремтячою» руки гри в нормальній форме16, визначення
  13. 14. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ІГОР
    рішень в умовах конфліктної ситуації. Формалізуючи конфліктні ситуації математично, їх можна представити як гру двох, трьох і більше гравців, кожен з яких переслідує мету максимізації свого виграшу за рахунок іншого гравця. Іноді теорію ігор визначають як розділ математики, що займається виробленням оптимальних правил поведінки для кожної сторони, що бере участь в конфліктній ситуації.
  14. 1.11. Доповнення. Рішення біматричних ігор 2x2
    рішень біматричних ігор, в яких у кожного з гравців є тільки дві стратегії. Зрозуміло, ці ігри являють собою окремий випадок розглянутих раніше ігор, але тут з'являється можливість дати наочну графічну інтерпретацію пошуку рівноважних ситуацій у грі. (Наше виклад тут слід книзі Воробйова, 1985.) Розглянемо біматричних гру 2 X 2 з матрицею / (ац, Ьц) («12, ^ 12) А V
© 2014-2022  ebib.pp.ua