Головна |
« Попередня | Наступна » | |
0.3. ДОДАТКОВИЙ РОЗДІЛ. ВІДНОСИНИ ПРИНЦИПАЛ-АГЕНТ142 |
||
Припустимо, що акціонери нейтральні до ризику. Їх цільова функція дорівнює очікуваного валового прибутку фірми за вирахуванням очікуваних виплат зарплати. Для спрощення припустимо, що є єдиний менеджер. Він приймає ненаблюдаемое рішення е з інтервалу [е, е]. Дане рішення буде розумітися як рівень зусиль, але взагалі це може бути будь дискреционная змінна або змінна моральної загрози (привілей, турбота і т. д.); вона не наблюдаема акціонерами. При даному з реалізація прибутку залежить від реалізації випадкової змінної е: П (е,?). Мабуть, П зростає з е. Акціонери спостерігають лише за рівнем прибутку і винагороджують менеджерів відповідно до функції зарплати тільки однієї спостерігається змінної ЦП). Таким чином, цільова функція акціонерів Е [П (е,?)-І> (П (е, г))]. Цільова функція менеджера - його очікування корисності. Остання залежить від грошової винагороди та рівня прикладених зусиль U (w, e). Мабуть, U збільшується з w і зменшується з е. Припустимо також, що U увігнута щодо w (несхильність до доходу, пов'язаного з ризиком). Таким чином, цільова функція менеджера є Е? / (Гу (П (е,? :)), Е). (Надалі всі очікування взяті по відношенню до е). У традиційній структурі принципал-агент акціонери розробляють договір про зарплату, ги (-). Тут ex ante існує конкурентна пропозиція однакових менеджерів з деякою відправною корисністю UQ (очікуваної корисністю, яку вони отримали б, якби працювали де-небудь ще). Акціонери в змозі заповнити вакансію менеджера, тільки якщо найвища можлива очікувана корисність для менеджера серед всіх потенційних рівнів зусиль перевищує UQ. На жаргоні теорії стимулів «індивідуальна раціональність» менеджера, або обмеження «співучасті», Тахе {/ (ги (П (е, б :)), е)> UQ (8) е має задовольнятися. Далі, якщо акціонери хочуть викликати певний рівень зусиль е * з боку менеджера, вони повинні розробити структуру зарплати, яка «сумісна зі стимулами»: е * максимізує Е? / (Ги (П (е, ?)), е) пове е. (9) Тепер розглянемо завдання акціонерів: вибрати структуру зарплати гу * (-) і викликати рівень зусиль е * з боку менеджера, який максимізує E [n (e,?) - ™ (I1 (e,?))] при обмеженнях (8) і (9). Вирішення цього завдання взагалі-комплексна проблема.143 Існують два протилежних випадку, рішення яких проте просте. До їх розгляду корисно отримати рішення для випадку, коли е і е доступні для огляду (повна інформація). Так як акціонери спостерігають е, вони можуть нав'язати будь-який рівень, який хочуть, узгоджується з участю менеджера (погрожуючи великою штрафом, якщо менеджер не підкориться). Таким чином, єдиним підходящим обмеженням є (8). Далі, з теореми оптимального страхування при даному е нейтральні по відношенню до ризику акціонери повинні платити постійну зарплату w менеджеру, тобто повинні надати йому повне страхування, 103 Вибір рівня зусиль взагалі кілька більш складний. Давайте просто припустимо, що е не є оптимальним зусиллям при повній інформації (найнижчі можливі зусилля з боку менеджера). Повернемося до нашої інформаційно-асиметричної структурі, в якій акціонери спостерігають тільки прибуток. Очевидно, оскільки контракт залежить від декількох змінних, акціонери мають менший контролем і тому можуть розраховувати в кращому випадку на свою очікуваний прибуток при повній інформації. (Розподіл, яке вони нав'язують при використанні малого числа піддаються спостереженню змінних, може в будь-який момент бути дубльовано з великим числом шляхом скидання додаткових змінних). Першим з протилежних випадків є приклад менеджера, нейтрального по відношенню до доходу, пов'язаного з ризиком. Тоді U (u;, е) = w - Ф (е). Тут Ф (е) представляє марність зусиль, виражену в грошовій мірою. Цільова функція акціонерів може бути записана як Е (П-w) = ЄП - ЕU (w, e) - Ф (е) = [ЕП (е, е) - Ф (е)] - U0, де використані нейтральність менеджера по відношенню до ризику і обмеження індивідуальної раціональності (можна легко показати, що воно обов'язково в цьому випадку). Нехай е144 оптимізує ЕП (е,?) - Ф (е) (очікуваний прибуток, очищену від марності зусиль). За визначенням, е * є оптимальним зусиллям при повної інформації (бо в умовах повної інформації має значення тільки обмеження індивідуальної раціональності). Таким чином, при повної інформації чистий прибуток акціонерів складе ЕП (е *,?)-Ф (е *) -? / 0. При асиметричної інформації можна допустити, що акціонери пропонують продати фірму менеджеру за ціною р = ЕП (е *,?) - Ф (е *) - UQ. Якщо менеджер це умова приймає, він стає залишковим претендентом на прибуток фірми. тах [ЕП (е,?) - Ф (е) - р] = UQ. е Отже, менеджер погоджується, і акціонери отримують ту ж саму очікуваний прибуток, що і при повній інформації. Як пояснено вище, передчуття цього результату полягає в тому, що менеджер стикається з такою схемою стимулів, яка в точності відображає мету вертикальної структури. Таким чином, він вибирає рівень зусиль при повній інформації. Потенційним недоліком є те, що менеджер може нести весь ризик. Це, однак, не має значення, тому що менеджер нейтральний до ризику. Протилежним випадком є приклад менеджера, нескінченно не схильну до збільшення доходу, пов'язаного з ризиком. Такий менеджер воліє випадкові зарплату w \ і зусилля е \ випадковим зарплаті w2 і зусиллю € 2 тоді і тільки тоді, коли min w \> min w2 або min w \ - min і ej е \> е2 => ^ (П; ei) Оптимізаційна задача менеджера для даної схеми стимулів ш (-), 104Случай зміни підтримки нецікавий, принаймні якщо функція зарплати «; (-) є необмеженою. Припустимо, наприклад, що П є строго зростаюча функція е. Припустимо далі, що акціонери хочуть нав'язати довільний рівень зусиль під. Тоді достатньо накласти дуже великий штраф на менеджера, якщо реалізований прибуток П виявиться нижче припущеного нижнього граничного рівня П (ео). Це утримує менеджера від вибору будь-якого рівня зусиль е <ео - (Таке надмірне покарання неможливо , якщо ги (-) лімітована, скажімо, обмеженою відповідальністю). Таким чином, змінюється підтримка в основному еквівалентна повної інформації. Таке ж явище може мати місце при незмінній, нескінченної підтримки, як було показано в [102]. дає умова першого порядку: / - П / 1х (ю (П)) / е (П; е) СШ - Ф '(е) = 0. (10) J п Звичайно, це умова недостатньо для оптимальності зусиль, умова другого порядку також має задовольнятися, якщо необхідно домогтися максимуму. Яке -то час будемо ігнорувати умова другого порядку. Якщо оптимальне рішення для акціонерів, знайдене при ігноруванні умови другого порядку для менеджера, може бути представлено пізніше задовольняє умові другого порядку, то тоді воно дійсно оптимально. Менеджер повинен також бути готовий прийняти участь: п
і (т (П)) / (П; е) <Ш - Ф (е)> і0. (11) ? Підхід першого порядку »для акціонерів полягає в знаходженні структури зарплати гу (-) та рівня зусиль е, які максимізують I = /" [(І - і> (П)) ДП; е) + А (і («; (П)) - Ф (е) - Щ) / (П; е) + Jn + 1? (і (і; (П)) / е (П; с) - Ф '(е) / (П; е))] СШ, де Літ / позитивні (вони і дійсно є строго позитивними , що можна легко показати). Похідна? береться по е, а подинтегрального вираження - по для всіх П. Нас цікавить тільки друге диференціювання, яке дає - / (П; е) + А / (П; е) і '(то (П)) + чл (П; е) і' (і »(П)) = 0, або 1 = А + (12) «'МЮ) / (П; е) (Рівняння (12) має виконуватися майже для всіх П, т. е . скрізь, крім, можливо, набору П з оцінкою нуль). Читачеві залишається розрахувати похідну Ь по е і перевірити, щоб умови другого порядку для вибору гу (П) і е задовольнялися (задовольняється умова другого порядку для менеджера). Пояснення результату практично просто, коли існують тільки два МОЖЛИВИХ рівня зусиль - низького і високого (е I І ен), але не континуум. При припущенні, що акціонери хочуть індукувати високий рівень зусиль, обмеження сумісності стимулів набуває вигляду Г ІНП)) / н (П) СШ - Ф (ен)> Г «(!?. (П)) / ь (П) СШ - ф (ЕЬ), (3 'Jп Jn де / н (0 та / ь () - щільності рівнів зусиль е. \ \ і ЕЬ. Рівняння (12) набуває вигляду = Л +>? (--ТТНТ Ь А, г;> 0. (12 ' Так як і' убуває, 1 / і 'зростає. Таким чином, чим вище відносна ймовірність, що зусилля буде високим при спостерігається прибутку П, тим вище буде зарплата менеджера. Вираз / ь (П) / / н (П) називають коефіцієнтом правдоподібності (likelyhood ratio). Функція оптимального винагороди зростає з реалізованої прибутком, якщо коефіцієнт правдоподібності уменьша * ється. (Корисне обговорення коефіцієнтів правдоподібності см . в [100]). Природно припустити виконання цієї властивості (хоча легко сконструювати умовні розподілу, які йому не задовольняють). Якщо більш високі прибутки дійсно відображають більш високі зусилля, то компенсація менеджерам збільшується з ростом спостережуваної прибутку. Коли підхід першого порядку має силу? Іншими словами, коли оптимальне рішення задовольняє умові другого порядку для менеджера? Як було показано [51, 103, 118], зі збільшенням невизначеності для того, щоб підхід першого порядку залишався вірним (і, в Зокрема, для того, щоб рівняння (12) і (12 #) описували оптимальну компенсаційну схему), істотні наступні умови. Властивість монотонності коефіцієнта правдоподібності: f € / f збільшується разом з П (або в випадку двох рівнів зусиль / h / / l збільшується разом з П). Випуклість функції розподілу: Fee> 0 або (для більшої спільності) для всіх ej, ез, П і будь а з [0 , 1], F (II; ae1 + (1 - а) е2) Рівняння (12) також вчить нас дечому цікавого про значення сигналу. Припустимо, що акціонери спостерігають не тільки прибуток П, але також який-небудь інший сигнал, s. Таким сигналом може бути ціна ресурсів, діяльність інших фірм або плями на сонці. Якщо G (II, s; e) позначає спільний розподіл Піз при зусиллях е з щільністю ^ (П, 5; е), тоді рівняння 12 набуває вигляду 1 Л I ПД «(П '*! е) МО «'! і' (ш (П,«)) г (П, л; е) ' Рівняння (12 ") дає ту ж саму структуру зарплати, що і рівняння (12), тобто w залежить тільки від П, якщо gg (n, s; <0 _ / е (П; е) g (K, s; e) / (П; е) ' 105 Щоб зрозуміти, чому ці умови дають увігнуту цільову функцію для менеджера, інтегруємо цільову функцію останнього по частинах : а
ДП ДП / і (гу (П)) / (П; е) с! П - Ф (е) - I і '(ш (ПЖ (П) ^ (П; е) СШ - Ф (е) + const, J П Jn де постійна не залежить від е (тому що FfII; e) - 0 і / ^ (П; е) = 1 для всіх е). Так як і> * (П)> З з рівняння (12), Fee> 0 і Ф "> 0, ця цільова функція увігнута по е. Однак рівняння (13), якщо інтегрувати по е, еквівалентно існуванню двох функцій тип таких, що 5 (П, 5; е) = т (П, е) п (П, б). (14) Рівняння (14) говорить, що П є достатньою статистикою для (П, 5) щодо е. Таким чином, оптимальна схема стимулів використовує додаткову інформацію 5, якщо і тільки якщо 5 містить інформацію щодо е за умови, що П вже відомо. Ця теорема більш формально доведена в [63, 129]. Загальні рішення проблеми моральної загрози рідкісні. Наприклад, розумне передбачення складалося б у тому, що 1 дол. збільшення прибутку призводить до збільшення зарплати менеджера в діапазоні від 0 дол. (Повне страхування) до 1 дол. (Залишкові претензії). Однак воно не обов'язково має виконуватися. Навіть при сепарабельного функції корисності для менеджера (Ц = ф (е) і (т) - Ф (е) - особливим випадком якого, ф ~ 1, ми вже користувалися) можна довести лише, що функція винагороди повинна бути зростаючою при деякому рівні прибутку і має нахил <1 при деякому (можливо, різному) рівні прибутку [51]. Тільки тоді, коли існують два можливих рівня прибутку, Щ і П2, необхідно маємо Ш2 - V)! <П2-п, < (Де ги * пов'язано з П $). Альтернативно можна допустити, що коефіцієнт правдоподібності є монотонному і що функція розподілу опукла по зусиллю, щоб застосувати підхід першого порядку та його висновки (такі як монотонність функції винагороди). Отримання більш специфічних результатів вимагає більш сильних припущень щодо розподілу і функції корисності.
|
||
« Попередня | Наступна » | |
|
||
Інформація, релевантна "0.3. ДОДАТКОВИЙ РОЗДІЛ. ВІДНОСИНИ ПРИНЦИПАЛ-АГЕНТ142" |
||
|