Головна
Регіональна та національна економіка / Аналіз фінансово-господарської діяльності підприємства / Орендні відносини / Аудит / Бізнес -планування / Бухгалтерський облік і контроль / Бюджетна система / Інвестування / Інноваційна діяльність / Інформаційні системи в економіці / Кризова економіка / Лізинг / Логістика / Математичні методи та та моделювання в економіці / Організація виробництва / Оцінка і оціночна діяльність / Споживча кооперація / Страхова справа / Теорія управління економічними системами / Теорія економіки / Управління фінансами на підприємстві / Економіка гірської промисловості / Економіка міського і сільського господарства / Економіка нерухомості / Економіка нафтогазових галузей промисловості / Економіка природокористування та природоохоронної діяльності / Економіка, організація і управління підприємствами / Економічна статистики / Економічний аналіз / Економічне прогнозування
ГоловнаЕкономіка та управління народним господарствомМатематичні методи та та моделювання в економіці → 
« Попередня Наступна »
В.В. Федосєєв, О.М. Гармаш, Д.М. Дайітбегов, І.В. Орлова, В.А. Половников. Економіко-математичні методи і прикладні моделі: Учеб. посібник для вузів / В.В. Федосєєв, О.М. Гармаш, Д.М. Дайітбегов та ін; Під ред. В.В. Федосєєва. - М.: ЮНИТИ. - 391 с., 1999 - перейти до змісту підручника

Лінійні векторні простори

Визначення 1. Упорядкована система з га дійсних чисел ai, а2, ..., ап називається га-мірним вектором і позначається а = А = (alta2, ..., a "). Числа ay (j-1, 2, ..., п)

називаються компонентами вектора a = А.

Визначення 2. Сукупність всіляких га-мірних векторів з введеними на ній операціями додавання і множення на число називається га-мірним векторним простором.

У матриці з т рядків і п стовпців рядки є га-мірними векторами, стовпці - m-мірними векторами і т.д.

Вектор а = (а1, а2, ..., а ") і вектор Ь = (b1, b2, ..., bn) рівні, якщо збігаються їх компоненти, які стоять на однакових місцях , тобто якщо aj = bj при j = 1,2, ..., га.

Сумою векторів а і Ь називається вектор а + b == + b1, a2 + b2, ..., an + bn). Роль нуля відіграє нульовий вектор

О = (0,0, ..., 0).

Протилежним вектору а називається вектор-а == (-а1,-а2, ...,-а "); очевидно, що а + (-а) = 0.

Різниця векторів а - b = а + (- &).

Твором вектора а на число X називається вектор Ха = (Ха1, Ха2, ..., Хап). З цього визначення випливають такі важливі властивості:

Х (а ± Ь) = Ха ± Я-, (k ± А.) а = ka ± Ха, k (Xa) = (kX) a.

Наслідками цих властивостей є наступні властивості: 0 - а - 0, (-І) а =-а, X - 0 = 0. Скалярним твором двох векторів а і & (А і В) називається дійсне число, рівне сумі добутків відповідних компонент цих векторів:

АВ = Q-\ b \ + а2Ь2 + ... + Апьпах.

Наприклад, ліва частина лінійного рівняння а \ Х \ + а2х2 + + ... + Апхп = Комерсант може бути представлена у вигляді скалярного

добутку векторів А - X, де А = (а \, а2, ..., ап), X =

= (Xl, X2, -; Xn).

Вектор В називається лінійною комбінацією векторів А \, А2, ..., Ап, якщо існують такі числа Я4, Х2, ..., Хп, при яких виконується співвідношення В = Я-jAi + Х2А2 + ... + + ХпАп. Система векторів А \, А2, ..., АГ (г> 2) називається лінійно-залежною, якщо хоча б один з векторів системи є лінійною комбінацією інших, і лінійно-незалежною - в іншому випадку. Можна сформулювати такі рівносильні сказаного визначення.

Система векторів А \, А2, ..., Аг - лінійно-залежна, якщо існують такі числа Л-j, Х2, ..., Хг, не всі рівні нулю, при яких має місце рівність Х \ А \ + А, за2 + ... + Х, АГ - 0.

Якщо останнє співвідношення можливо лише у випадку, коли всі Xj = 0 (j = 1, г), то система векторів називається лінійно-незалежною. Наприклад, система векторів А \ - (2,4,3), А2 = (2,3,1), А3 - (5,3,2), А4 = (1,7,3) лінійно-залежна: А \ + + 2А2 - А3 - А4 = 0.

Рангом системи векторів-Ai = (а11, а12, ..., а1 "),

А2 = (а21>« 22> '"' а2л) >

- (omi, cim2, ..., amn).

називається максимальне число лінійно-незалежних векторів цієї системи. Ранг системи векторів дорівнює рангу матриці А, складеної з компонент векторів цієї системи, тобто найвищого порядку мінору матриці А, відмінного від нуля.

L Приклад 4. Визначити, чи є система векторів Aj - (5,4,3,2), А2 = (3,3,2,2), А3 = (8,1,3, -4) лінійно-залежною; якщо вона лінійно-залежна, то знайти її максимальну лінійно-незалежну підсистему.

Рішення. Складемо матрицю з компонент векторів і знайдемо її ранг. Маємо А =

^ 5 4 3. 2s 3 3 2 2 1,8 1 3 -4, 5 4 3 березня

= 3 * 0.

Мінор другого порядку Розглянемо два мінору третього порядку, які його облямовують: = 2 (59 - 59) = О.

= 118-118 = О,

5 4 3 3 3 2 8 13

5 4 2 3 3 2 8 1-4

Ранг матриці А дорівнює 2, тому система векторів є залежною. В матрицях, складених з компонент будь-яких двох векторів даної системи, містяться мінори другого порядку, відмінні від нуля, наприклад, 5 4 3 3 = -21 Ф 0, 5 4 = 3 * 0, 3 3 8 1 8 1 = -27 ф 0.

Тому максимальна лінійно-незалежна підсистема складається з двох будь-яких векторів, а третій вектор є їх лінійною комбінацією. ^

Базисом л-мірного векторного простору називається будь-яка сукупність п лінійно-незалежних векторів цього ж простору.

Теорема. Будь вектор л-мірного векторного простору можна представити як лінійну комбінацію векторів базису, притому єдиним чином.

Один з базисів л-мірного векторного простору утворює система одиничних векторів

Д2 = (0,1, ..., 0)

Я "= (0,0, ..., 1).

Компоненти будь-якого л-мірного вектора можна вважати координатами цього вектора в одиничному базисі.

Нехай задано л-мірне лінійний простір Еп.

Визначення. Безліч X називається опуклим, якщо разом з будь-якими точками х \ і х2 безлічі належать точки (відрізок) Хх2 + (1-А.) хі при всіх 0 Безліч на рис. 2.1а опукле, на рис. 2.16 - неопуклого.

a)

Рис. 2.1

Визначення. Функція / (X), задана на опуклому

множині X з Еп, називається опуклою, якщо для будь-яких двох точок Xi і х2 з X і будь-якого числа 0 f [Xx2 + (1-А.) *!] <Щхг) + (1-Щ * і).

Визначення. Функція / (X), задана на опуклій множині X, називається увігнутою, якщо для будь-яких двох точок Хі і х2 з X і будь-якого числа 0 <А, <1 виконується співвідношення

f [Xx2 + (1-А.) *!]> Xf (x2) + (lA,) / (* i).

Якщо наведені нерівності вважати строгими і вони виконуються при 0 <А. <1, то функція / (X) - строго опукла (увігнута).

Можна показати, що якщо / (X) - опукла функція, то функція - / (X) - увігнута, і навпаки.

На рис. 2.2а функція / (X) - опукла, на рис. 2.26 - увігнута. X

б)

X

а)

Справедливі наступні твердження щодо опуклих множин і функцій. 1.

Перетин опуклих множин є опукле мно> жество . 2.

Сума увігнутих (опуклих) функцій є увігнута (опукла) функція. 3.

Вели / (X) - опукла функція при X> 0, то безліч усіх точок, що задовольняють умовам f (X) 0, опукло (якщо воно не пусте; Комерсант - постійна). 4.

Нехай f (X) - опукла (увігнута) функція, задана

на замкнутому опуклій множині ХСЕ ", тоді будь-який локальний мінімум (максимум) f (X) на X є і глобальним.

Наведемо необхідна і достатня умова опуклості функції багатьох змінних.

Нехай функція

/ (X) = f (xltx2 хп) має всі приватні похідні другого

порядку, що утворюють матрицю d2f d2f d2f 8x1 d2f дх1дх2 d2f дхідхп d2f дх ± дх2 дх2 дх2дхп d2f d2f d2f дхпдх1 дхпдх2 дх2 J Ця функція є опуклою в області X тоді і тільки тоді, коли матриця Q для будь-якої точки з цієї області є неотрицательно (позитивно) визначеною. Нагадаємо, що квадратна матриця Q = (qij) nxn називається неотрицательно (позитивно) певної, якщо все визначники Al = д2 =

Ян Я12 421 Я22

Яи

42n

9і 9І2 921? 22

Япі Яп2 Япп

тобто всі головні мінори матриці Q ненегативні (позитивні).

Кь. Приклад 5. Показати, що функція f (X) = 2х ® * х2 - 6

є опуклою при Xi> 0.

Складемо матрицю з приватних похідних другого по-

рядка для f (X): Q (X)

Знайдемо визначники

r12jcj 0л

про oj

Aj = 12 *!, Д2 = 0. Так як Ді> 0, Д2 = 0 при Х \> 0, то функція є опуклою. Л

Дамо визначення глобального і локального максимумів. Функція f (x) досягає на замкнутому (тобто включає

свій кордон) множині X глобальний максимум в точці

-ff

х, якщо для будь-якої точки, що належить Х (х є X), що виконують-

няется умова f (x) Функція f {x) досягає на замкнутому множині X локального максимуму в точці х °, якщо існує деяка околиця цієї точки, для кожної точки якої виконується умова f (x) На рис. 2.3 * З ° - точка

*

локального мінімуму; Хг - глобального мінімуму; а, х2 ° - точки локального максимуму; р - точка глобального максимуму.

Визначення локального і глобального мінімуму формулюються аналогічно.

Необхідні умови екстремуму (максимуму, мінімуму). Якщо в точці х ° є X функція f (x) = f (x1, x2, ..., xrl) має екстремум, то приватні похідні першого порядку дорівнюють нулю в цій точці:

dffjc0) _ - г = О,; = 1, п.

DXj

Достатні умови існування екстремуму тут не формулюються. Про самому існуванні точок глобального мінімуму і максимуму говорить наступна теорема.

Теорема Вейєрштрасса. Якщо функція f (x) визначена і неперервна в обмеженій замкнутій області X, то вона досягає в ній своїх точних верхньої і нижньої меж (глобальний максимум і глобальний мінімум).

Наведені твердження щодо опуклих множин і функцій, умов існування екстремуму дозволяють робити висновки про властивості тих чи інших завдань оптимального програмування, що є основою розробки і застосування математичних методів їх вирішення. Наприклад, симплекс-метод розв'язання задачі лінійного програмування використовує, зокрема, «властивість опуклості» цього завдання: не існує локального екстремуму, відмінного від глобального.

« Попередня Наступна »
= Перейти до змісту підручника =
Інформація, релевантна " Лінійні векторні простори "
  1. 1.3. БАЗИСНІ РІШЕННЯ І ДРУГА ГЕОМЕТРИЧНА ІНТЕРПРЕТАЦІЯ ЗЛП
    лінійного програмування Позначимо через аj стовпці матриці А і будемо розглядати їх як вектори простору Rm. Тоді кожному допустимому плану КЗЛП - n-мірному вектору х - відповідає неотрицательная лінійна комбінація стовпців аj, рівна колонки b (Rm: Таке уявлення обмежень КЗЛП зазвичай називають векторної формою запису. Вектори аj, j (
  2. 1.3 .3. Дослідження умов існування вирішення завдань варіаційного обчислення по синтезу і вибору оптимальних законів параметричного регулювання на базі дискретної стохастичною динамічної системи
    лінійних функцій щодо \ х \. Тоді, якщо безліч допустимих управлінь XJad не порожньо, то завдання 1.3.5 залагодити. Доказ наведено в додатку А. Умови існування рішення задачі варіаційного числення з вибору оптимального закону параметричного регулювання дискретної стохастичною динамічної системи. Розглянемо тепер сформульовану вище завдання 1.3.6.
  3. ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ лінійного програмування
    лінійного програмування. У загальному вигляді задача лінійного програмування * (надалі ЗЛП) може бути сформульована як задача знаходження найбільшого значення лінійної функції на деякій множині D (Rn, де х (D задовольняють системі обмежень і, можливо, обмеженням х1? 0, х2? 0, ..., хj? 0, ..., хn? 0. (1.3) * Нагадаємо, що
  4. -Ф-Оптимізація портфеля інвестицій при обмеженому бюджеті
    лінійної оптимізації. У випадку завдання лінійної оптимізації формулюється в наступному вигляді [4]: АХ => max, (2.7) З X <В, (2.8)> 0 {до - 1; л), (2.9) де А - матриця коефіцієнтів при змінних цільової функції; X - вектор змінних цільової функції; С - коефіцієнти функції обмежень; В - вектор обмежень. Технологію розв'язання задач лінійного програмування в середовищі ППП
  5. 1.2. Основні властивості ЗЛП ТА ЇЇ ПЕРША ГЕОМЕТРИЧНА ІНТЕРПРЕТАЦІЯ
    лінійної алгебри і опуклого аналізу, застосовувані в теорії математичного програмування. Коротко нагадаємо деякі фундаментальні визначення та теореми лінійної алгебри і опуклого аналізу, які широко застосовуються при вирішенні проблем як лінійного, так і нелінійного програмування. Фундаментальним поняттям лінійної алгебри є лінійне (дійсне) простір. Під ним
  6. 2.2. Форми запису задачі лінійного програмування та її економічна інтерпретація
      лінійного програмування. У задачі лінійного програмування (ЗЛП) потрібно знайти екстремум (максимум чи мінімум) лінійної цільової функції фс): max (min) / (х) = Сіхг + С2Х2 + ... + Спхп (2.9) при обмеженнях (умов): «11 * 1 +« 12 * 2 + -? - + ainXn {} & 1, «21 * 1 +« 22 * 2 + - - - + «2Л * л {- '=' -} Ь2. (2.10) «ml * 1 +« т2 * 2 + - - - + атпХп {} Ьт, (2.11) де ац, bt, Cj (i = l, m; j-l, n) -
  7. 2.3. Математичний апарат
      лінійною комбінацією Aj = ХВ + ЦС двох довільних стовпців (рядків) Б і С, то і сам визначник виявляється лінійною комбінацією D = Dj {XB + ЦС) = Щ (В) + [iDj (C) визначників Dj (B) і Dj (C). Тут Dj (B) і Dj (C) - визначник D, в якому стовпець (рядок) j замінено відповідно на стовпець (рядок) В і С. Інші стовпці (рядки) збережені без зміни. 6. При множенні
  8. 3.4. Приклади
      лінійне рівновагу, тобто рівновагу, утворене лінійними стратегіями bi (-) і b2 (-): bi (vi) = ai + C1V1 і b2 (v2) = А2 + c2v2. (Зауважимо, що ми не обмежуємо простір стратегій лінійними стратегіями. Ми допускаємо будь-які, а шукаємо рівновагу, яка буде лінійним. Насправді в силу рівномірності розподілу оцінок виявиться, що рівновага не тільки існує, а й
  9. 1.2.2. Розробка методів оцінки слабкою структурної стійкості дискретної динамічної системи (полукаскад) на базі підходу Робінсона.
      лінійну лінію з вузлами в точках зазначеної дискретної траєкторії полукаскад. Перевірку оборотності відображення /: N - »? N 'можна здійснити в наступні два етапи. 1. Перевірка оборотності обмеження відображення /: N - »? N 'на лінію L: /: L -> f (L). Ця перевірка зводиться до встановлення факту відсутності точок самопересеченія у лінії f (L), тобто (Хі ф Х2) =>? (F {x 1) ф f (x2)), хі, Ж2 ^ L-
  10. ПЕРЕДМОВА
      лінійного програмування; трен-довие моделі економічної динаміки на основі одновимірних часових рядів; балансові моделі в статичній і динамічній постановці; економетричні багатофакторні моделі, головним чином лінійні моделі парної та множинної регресії. Крім того, в навчальний посібник відповідно до вимог освітніх стандартів включені такі прикладні моделі, як
  11. 6.5. Доповнення. Існування і єдиність вектора Шеплі
      лінійно незалежні. Пропозиція 6.5.2. Для будь характеристичної функції v має місце єдине подання Rcl ScR де Іншими словами, ця пропозиція стверджує, що кожну характеристическую функцію на J можна уявити, і притому єдиним чином, у вигляді лінійної комбінації найпростіших характеристичних функцій. Теорема 6.5.1. Якщо vr - найпростіша
  12. КЛЮЧОВІ ПОНЯТТЯ
      лінійними обмеженнями. Л., 1984. 7. Гасс С. Лінійне програмування (методи і додатки). М., 1961. 8. Гейл Д. Теорія лінійних економічних моделей М., 1963. 9. Гілл Ф., Мюррей У., Райт М. Практична оптимізація / Пер. з англ. М., 1985. 10. Давидов Е. Г. Дослідження операцій: Учеб. посібник для студентів вузів. М., 1990. 11. Данциг Дж. Лінійне програмування, його
  13. Оцінка положень макроекономічної теорії на базі обчислюваною моделі загальної рівноваги галузей економіки.
      лінійної залежності між обсягом споживчих витрат і поточним доходом; - лінійної залежності між інвестиціями та приростом доходів. З метою перевірки цих положень було проведено ряд обчислювальних експериментів щодо прорахунку наступних сценаріїв зміни зазначених попитів на кінцеві та інвестиційні товари: a) Ог {1) = 0 ^ -1} + a (Yg [t] - Yg [t - 1]) ; (4.1.74) b) 02i [t] =
  14. 3.3. Зауваження про корелювати рівновазі
      простору О, (простору станів) і імовірнісної міри ТГ на Q, інформаційного розбиття Vi для кожного гравця i = 1, ..., п простору О,, і функцій ai: Q -> Ai, i = 1, ..., га, що мають властивість (Ji (w) = (Ji (w ') для w, w'? Pi для деякого Pi? Vi (Ai, для якої Ti (w) = Ti (w ') для w, w? Pi з деякого Pi? Vi (тобто для будь-якої стратегії гравця i),> ^
  15. 5.4.2 Диференціальна характеристика кордону Парето
      лінійно незалежні. Для цього достатньо довести, що градієнти всіх, а не тільки активних, обмежень лінійно незалежні. Це проводиться перевіркою рангу матриці градієнтів обмежень: записавши структуру матриці, слід переконатися що якщо лінійна комбінація її рядків дорівнює нулю, то всі коефіцієнти лінійної комбінації нульові. Ми тут опускаємо цю перевірку. Теорема Куна-Таккера стверджує,
  16. Кореляційно-регресійного аналізу В ПРОГНОЗИРОВАНИИ
      лінійного наближення по методу найменших квадратів ТЕНДЕНЦІЯ Повертає значення у відповідність з лінійною апроксимацією але методом найменших квадратів ЛГРФПРІБЛ Повертає параметри експоненціального наближення по методу найменших квадратів РОСТ Повертає параметри експоненціального наближення по методу найменших квадратів, проекції за експоненціальним наближенню Статистичні функції
  17. 7.2 Доказ представимости переваг на множині простих лотерей лінійною функцією корисності
      лінійної за ймовірностями. Дамо загальне визначення лінійності функції. Визначення 56: Будемо називати функцію корисності U (?), Що представляє переваги на лотереях, лінійної, якщо для довільних лотерей p, q? S і числа а? [0, 1] вірно співвідношення U (p о а про q) = Аu (p) + (1 - а ^ (q). Доведемо, що лінійність функції корисності еквівалентна тому, що це функція Неймана - Моргенштерна. Теорема
  18. 1.3.4. Дослідження впливів зміни некерованих параметрів (параметричних збурень) на результати вирішення завдань варіаційного обчислення по синтезу і вибору оптимальних законів параметричного регулювання.
      векторного параметра. Дослідження таких завдань вимагають, перш за все, знаходження достатніх умов безперервності оптимальних значень критеріїв оптимальності, що розглядаються як функції від некерованих параметрів. При вирішенні завдань вибору (в середовищі заданого кінцевого набору алгоритмів) законів параметричного регулювання потрібно визначення бифуркационной точки, умов її
  19. ПРОГНОЗУВАННЯ ТЕНДЕНЦІЙ
      лінійного наближення по методу найменших квадратів ПРЕДСКАЗ Повертає значення лінійного тренда, значення проекції за лінійним наближенню ТЕНДЕНЦІЯ Повертає значення у відповідність з лінійною апроксимацією за методом найменших квадратів ЛГРФПРІБЛ Повертає параметри експоненціального наближення по методу найменших квадратів РОСТ Повертає параметри експоненціального наближення по
  20. Тема 10 УПРАВЛІННЯ ПЕРСОНАЛОМ БАНКУ
      Структура банку. Типи структуризації. Ієрархічна структура. Лінійно-функціональна. Продуктова структура. Технологічна. Дивизионная. Матрична структура. Завдання структурних підрозділів та їх взаємозв'язку. Загальний процес управління банку. Управління банківським персоналом. Відносини банківських службовців з клієнтами. Результативність діяльності керуючих. Методи поліпшення мотивації і
© 2014-2022  ebib.pp.ua